Relación de resistencias estrella-triángulo

Un conjunto de n impedancias están conectadas en estrella cuando uno de los terminales de cada impedancia se lleva a un punto común -que recibe el nombre de punto neutro- y al que no se conecta nada más.

Un conjunto de impedancias constituye un polígono de n terminales cuando se conectan todas las parejas posibles formadas con esos n terminales. En general, un polígono de n terminales estará formado por $\frac{n\cdot (n-1)}{2}$ impedancias.

Fig. 1 Conexión estrella y polígono.

Conexión estrella y triángulo

Un caso particular de interés se tiene cuando $n=3$. La figura 2 muestra tres impedancias en configuración estrella y triángulo.

Fig. 2 Conexión estrella y triángulo

Debido a la gran extensión de las redes trifásicas, es interesante conocer la relación entre las impedancias conectadas en estrella y triángulo para que ambas conexiones resulten equivalente a efectos de cualquier conexión exterior (Teorema de Kennelly).

Para determinar la relación entre la impedancias en estrella y triángulo, bastará con obtener las resistencias equivalentes entre los terminales $1-2$, $1-3$ y $2-3$ para ambas configuraciones e igualarlas ya que serán cargas equivalentes.

Fig. 3 Combinación de la conexión estrella y triángulo

La impedancia equivalente de las cargas en triángulo entre los terminales $1-2$ se corresponde con la impedancia equivalente de la impedancia en paralelo de la impedancia $Z_{12}$ con las impedancias en serie $Z_{13}$ y $Z_{23}$. El valor de esta impedancia es $$Z_{serie}=Z_{13}+Z_{23}\\ \frac{1}{Z_{eq12}}=\frac{1}{Z_{12}}+\frac{1}{Z_{serie}} \\ Z_{eq12}=\frac{Z_{12}\cdot (Z_{serie})}{Z_{12}+Z_{serie}}=\frac{Z_{12}\cdot(Z_{13}+Z_{23})}{Z_{12}+Z_{13}+Z_{23}}$$ De forma análoga se obtienen las impedancias equivalentes del triángulo para los terminales $1-3$ y $2-3$ cuyos valores son $$Z_{eq13}=\frac{Z_{13}\cdot(Z_{12}+Z_{23})}{Z_{12}+Z_{13}+Z_{23}} \\ Z_{eq23}=\frac{Z_{23}\cdot(Z_{12}+Z_{13})}{Z_{12}+Z_{13}+Z_{23}}$$ Por otro lado, las impedancias equivalentes de las impedancias en estrella entre los terminales $1-2$, $1-3$ y $2-3$ se corresponden con las respectivas impedancias en serie equivalentes, es decir $$Z_{eq12}=Z_1+Z_2 \\ Z_{eq13}=Z_1+Z_3 \\ Z_{eq23}=Z_2+Z_3$$ Al igualar las impedancias equivalentes para cada configuración se obtiene $$Z_1+Z_2= \frac{Z_{12}\cdot(Z_{13}+Z_{23})}{Z_{12}+Z_{13}+Z_{23}} \\ Z_1+Z_3=\frac{Z_{13}\cdot(Z_{12}+Z_{23})}{Z_{12}+Z_{13}+Z_{23}} \\ Z_2+Z_3=\frac{Z_{23}\cdot(Z_{12}+Z_{13})}{Z_{12}+Z_{13}+Z_{23}}$$ Es decir, tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Transformación triángulo-estrella

Si se suponen conocidos los valores de las impedancias en triángulo, $Z_{12}$, $Z_{13}$ y $Z_{23}$, los valores de la estrella equivalente (transformación triángulo-estrella) al resolver el sistema ecuaciones quedan $$Z_1=\frac{Z_{12}\cdot Z_{13}}{Z_{12}+Z_{13}+Z_{23}} \\ Z_2=\frac{Z_{12}\cdot Z_{23}}{Z_{12}+Z_{13}+Z_{23}} \\Z_3=\frac{Z_{13}\cdot Z_{23}}{Z_{12}+Z_{13}+Z_{23}}$$

Transformación estrella-triángulo

Si se suponen conocidos los valores de las impedancias en estrella, $Z_{1}$, $Z_{2}$ y $Z_{3}$, los valores del triángulo equivalente (transformación estrella-triángulo) al resolver el sistema ecuaciones quedan $$Z_{12}=Z_1+Z_2+\frac{Z_1\cdot Z_2}{Z_3} \\ Z_{13}=Z_1+Z_3+\frac{Z_1\cdot Z_3}{Z_2} \\Z_{23}=Z_2+Z_3+\frac{Z_2\cdot Z_3}{Z_1}$$ Las relaciones obtenidas también son conocidas como el Teorema de Kennelly.

Relaciones triángulo-estrella, estrella-triángulo para cargas equilibradas

Un caso de particular interés resulta cuando las tres impedancias son iguales (carga equilibrada). Si se cumple que las tres impedancias de la estrella tienen el mismo valor $Z_1=Z_2=Z_3=Z_{Y}$, las tres impedancias del triángulo tienen el mismo valor, $Z_{\Delta}$, dado por $$Z_{\Delta}=Z_{12}=Z_{13}=Z_{23}=3\cdot Z_{Y}$$ Evidentemente, el valor de la impedancia en estrella si las tres impedancias del triángulo tienen el mismo valor será $$Z_{Y}=\frac{Z_{\Delta}}{3}$$