Circuito equivalente del transformador

En la década de 1970 el cálculo de las tensiones y corrientes en los transformadores se realizaba con complejos diagramas vectoriales.

Más recientemente, con el desarrollo de los primeros ordenadores, el cálculo de tensiones y corrientes se pudo resolver mediante cálculo complejo. A pesar de reducir la complejidad de los cálculos con transformadores, el cálculo complejo aún resulta tedioso para la obtención de las tensiones y corrientes cuando hay transformadores en los circuitos a analizar.

Para facilitar más la labor en el cálculo de tensiones y corrientes cuando los transformadores están involucrados, se suele recurrir a su sustitución por un circuito equivalente que incorpore todos los fenómenos físicos que se producen en un transformador real (figura 1).

Fig. 1 Circuito del transformador real.

Al contrario de lo que se puede pensar, el desarrollo de circuitos equivalentes para las máquinas eléctricas no es una novedad ya que su desarrollo está ligado con la propia evolución y expansión de la ingeniería eléctrica.

La gran ventaja del uso de circuitos equivalentes de máquinas eléctricas reside en poder aplicar toda la potencia del cálculo de teoría de circuitos permitiendo conocer la respuesta de una máquina frente a unas determinadas condiciones de funcionamiento.

La obtención del circuito equivalente del transformador se inicia reduciendo ambos devanados al mismo número de espiras. En el transformador real se tiene $$\dfrac{E_1}{E_2}=\dfrac{N_1}{N_2}=m \rightarrow E_2=\dfrac{E_1}{m}$$ En el transformador equivalente se tiene que al ser $N'_2=N_1$ $$\dfrac{E_1}{E'_2}=\dfrac{N_1}{N'_2}=1$$ Luego la relación entre $E_2$ y $E'_2$ es $$E'_2=m\cdot E_2$$ Análogamente se puede obtener que $$V'_2=m\cdot V_2$$ Además, para que este nuevo transformador sea equivalente al original las potencias activa y reactiva y, en consecuencia la potencia aparente, deben conservarse.

Como el secundario del transformador equivalente debe consumir la misma potencia aparente que el secundario del transformador real se tiene $$V_2\cdot I_2 =V'_2\cdot I'_2$$ de donde se puede obtener la relación entre la corriente real del secundario del transformador y la corriente reducida del secundario del transformador $$I'_2=\dfrac{V_2\cdot I_2}{V'_2}=\dfrac{V_2\cdot I_2}{m\cdot V_2}=\dfrac{I_2}{m}$$ Procediendo de forma análoga para las potencia activa se tiene $$R_2\cdot I_2^2=R'_2\cdot I{'}_2^{2}$$ Luego la relación entre la resistencia real y la reducida será $$R'_2=\dfrac{R_2\cdot I_{2}^2}{I{'}_{2}^2}=\dfrac{R_2\cdot I_{2}^2}{\dfrac{I_{2}^2}{m^2}}=m^2\cdot R_2$$ Repitiendo el cálculo para la potencia reactiva $$X_2\cdot I_2^2=X'_2\cdot I{'}_2^2 \\ X'_2=m^2\cdot X_2$$ En general, cualquier impedancia $Z$ conectada al secundario del transformador se reducirá al primario mediante $$Z'_2=m^2\cdot Z_2$$ Tras reducir todos los valores de impedancias al primario y, dado que $E_1=E'_2$ los terminales A-a y A'-a' se pueden unir, sustituyendo ambos devanados por uno solo como se muestra en la figura 2.

Fig. 2 Circuito equivalente de un transformador real reducido al primario.

La corriente que circulará por el devanado será la diferencia entre $I_1$ y $I'_2$ que es igual a la corriente de vacío, $I_0$. Esta corriente a su vez tiene dos componentes, una activa $I_{Fe}$ y otra reactiva $I_\mu$, que representan un circuito paralelo formado por una resistencia $R_{Fe}$, que modela las pérdidas por efecto Joule en el hierro del transformador y por una reactancia $X_\mu$ por la que se deriva la corriente de magnetización de la máquina. De acuerdo con estos razonamientos, el circuito de la figura 2 se transforma en el de la figura 3 que se conoce como el circuito equivalente exacto del transformador reducido al primario.

Fig. 3 Circuito equivalente del transformador exacto reducido al primario.

Si se sigue el mismo proceso dejando inalterado el secundario y tomando el número de espiras del primario $N'_1=N_2$ se obtiene el circuito equivalente del transformador exacto reducido al secundario (figura 4).

Fig. 4 Circuito equivalente del transformador exacto reducido al secundario.

donde $V'_1=\dfrac{V_1}{m}$, $R'_1=\dfrac{R_1}{m^2}$, $X'_1=\dfrac{X_1}{m^2}$,  $I'_1=m\cdot I_1$, $I'_0=m\cdot I_0$, $R'_{Fe}=\dfrac{R_{Fe}}{m^2}$, $X'_\mu=\dfrac{X_\mu}{m^2}$.

En la práctica, debido al pequeño valor de $I_0$ frente a las corrientes $I_1$ e $I'_2$, se emplea el circuito equivalente aproximado del transformador. Este circuito se obtiene trasladando la rama en paralelo por la que circula la corriente de vacío a los bornes de la entrada del primario tal y como se muestra en la figura 5.

Fig. 5 Circuito equivalente del transformador aproximado reducido al primario.

El circuito simplificado permite resolver multitud de problemas prácticos tales como el cálculo de la caída de tensión, el rendimiento del transformador, análisis de estabilidad, cortocircuitos, etc., sin incurrir en grandes errores.