Ingeniería Eléctrica: Circuito equivalente monofásico del motor trifásico de inducción

La importancia y valor del circuito equivalente del motor asíncrono es representar un sistema electromagnético complejo mediante en un circuito simple donde se agrupan los diferentes parámetros del motor en forma de resistencias e inductancias que modelan su comportamiento.

A pesar de que el circuito equivalente de una máquina de inducción es simple, permite el cálculo de un modo sencillo no sólo de las corrientes de fase y factor de potencia, sino también del par, potencia, pérdidas y rendimiento de la máquina con un grado de precisión sorprendente si los parámetros del circuito están calculados, o son medidos, con la precisión adecuada al realizar el ensayo de vacío y el ensayo de cortocircuito.

Circuito equivalente en régimen permanente

Un motor de inducción a rotor bloqueado, o a velocidad cero, no es más que un transformador con el secundario cortocircuitado donde la conexión entre el devanado primario y secundario es pobre debido al entrehierro existente.

Bajo las condiciones de rotor bloqueado existe la transferencia de potencia eléctrica entre el estátor -primario- y el rotor -secundario- aunque toda ella se disipa en el rotor en forma de pérdidas en el cobre y en el hierro de la máquina.

Sin embargo, la interacción de los campos magnéticos giratorios en el entrehierro produce un par y, si éste es suficiente para vencer la carga acoplada al eje, el sistema empieza a girar.

Cuando la máquina está en movimiento, girando, la potencia transferida debida a la interacción de los campos magnéticos en el entrehierro es más compleja ya que la potencia eléctrica que fluye desde el estátor hacia el rotor da como resultado una potencia mecánica y unas pérdidas eléctricas en el rotor. En otras palabras, existe conversión de la energía eléctrica en energía mecánica y calorífica.

Los fenómenos e interacciones descritos pueden ser identificados, representados y cuantificados de una forma simple mediante un circuito equivalente que contiene seis elementos. El desarrollo del circuito equivalente se realiza en los siguientes párrafos.

El circuito equivalente del estátor de una máquina de inducción cuando se encuentra en equilibrio se puede asimilar al primario de un transformador (figura 1).

Fig. 1 Circuito equivalente del estátor.

La ecuación fasorial es $$\overline{V}_1=\overline{E}_1+\overline{I}_1\cdot (R_1+j\cdot X_1)$$ donde

$\overline{E}_1=j\cdot\overline{I}_\mu\cdot X_\mu$ es la tensión o fuerza contra electromotriz inducida en una fase del estator por el flujo en el entrehierro.
$\overline{V}_1$ es la tensión aplicada a la fase del estátor.
$\overline{I}_1$ es la corriente de fase del estator.
$\overline{I}_\mu$ es la corriente magnetizante.
$R_1$, $X_1$ y $X_\mu$ son la resistencia estatórica, reactancia de dispersión y reactancia magnetizante por fase.

Por otro lado, el flujo que se establece en el entrehierro induce unas tensiones en los devanados rotóricos. La magnitud de las tensiones inducidas en los devanados rotóricos dependerá del número de enlaces de flujo abrazados por el devanado rotórico y su número de espiras además de la velocidad relativa entre el campo magnético generador en el estátor y los devanados rotóricos.

Si $\overline{E}_2$ es la tensión inducida en una fase rotórica a rotor bloqueado, por analogía con los transformadores se tiene que $\overline{E}_2=\dfrac{\overline{E}_1}{m}$ donde $m$ es la relación entre el número de espiras del devanado primario y secundario.

Cuando el motor gira, la tensión inducida en la fase del rotor toma el valor de $\overline{E}_2=\dfrac{s\cdot\overline{E}_1}{m}$ donde $s$ es el deslizamiento que toma el valor $$s=\dfrac{f_2}{f_1}=\dfrac{n_{sinc}-n}{n_{sinc}}$$ donde

$f_1$ y $f_2$ son las frecuencias estatóricas y rotóricas respectivamente.
$n$ y $n_{sinc}$ son la velocidad del rotor y del campo del estator en el entrehierro (velocidad síncrona) respectivamente.

El valor de $E_2$ depende del deslizamiento ya que la fuerza electromotriz es proporcional al cambio en los enlaces de flujo en los conductores rotóricos y, por tanto, directamente proporcional a la velocidad relativa entre la velocidad del campo estatórico y el devanado rotórico.

El circuito equivalente del rotor cuando está cortocircuitado se muestra en la figura 2.

Fig. 2 Circuito equivalente del rotor cuando está cortocircuitado.

Su ecuación fasorial es $$\dfrac{s\cdot\overline{E}_1}{m}=\overline{I}_2\cdot (R_2+j\cdot s\cdot X_2)$$ donde

$\overline{I}_2$ es la corriente del rotor por fase
$R_2$ es la resistencia del rotor por fase
$X_2$ es la reactancia de dispersión del rotor por fase medida a la frecuencia del estator. En cualquier otra frecuencia $X_2$ se modifica por $s$.

Igualando ahora el número de espiras del devanado primario y secundario, se tiene que la corriente rotórica referida al estátor, $I'_2$, toma el valor $$\overline{I'}_2=\dfrac{\overline{I}_2}{m}$$ De este modo, la ecuación que modela el circuito equivalente del rotor queda $$\dfrac{s\cdot\overline{E}_1}{m}=m\cdot\overline{I'}_2\cdot (R_2+j\cdot s\cdot X_2)$$ La corriente y tensión en la ecuación del rotor tienen la frecuencia rotórica $(f_2)$. Para ligar el sistema rotórico con el sistema estatórico será necesario que ambos sistemas posean la misma frecuencia.

Este hecho se consigue multiplicando ambos miembros de la ecuación por $\dfrac{1}{s}$. De este modo, la ecuación del sistema rotórico a frecuencia estatórica queda $$\overline{E}_1=\overline{I'}_2\cdot\left( m^2\cdot \dfrac{R_2}{s}+j\cdot m^2\cdot X_2\right)$$ donde la resistencia del rotor, $R_2$, desde el punto de vista del estátor, parece que varíe con la velocidad de la máquina.

Sustituyendo ahora $\overline{E}_1=j\cdot\overline{I}_\mu\cdot X_\mu$ en la ecuación fasorial del estátor y del rotor se tiene $$\overline{V}_1=\overline{I}_1\cdot (R_1+j\cdot X_1)+j\cdot \overline{I}_\mu\cdot X_\mu$$ $$0=\overline{I'}_2\cdot\left(\dfrac{R'_2}{s}+j\cdot X'_2\right) -j\cdot\overline{I}_\mu\cdot X_\mu$$ donde $R'_2=m^2\cdot R_2$ y $X'_2=m^2\cdot X_2$ son, respectivamente, la resistencia del rotor y la reactancia de dispersión por fase referidas al estátor.

Ambas ecuaciones tienen ahora tensiones y corrientes de la misma frecuencia y, aplicando las leyes de Kirchoff se tiene que $$\overline{I}_1=\overline{I'}_2+\overline{I}_\mu$$ Finalmente, hay que considerar las pérdidas en el hierro del estátor causadas por la histéresis y las corrientes de Eddy, asociadas al flujo mutuo.

De este modo, las pérdidas en el hierro se pueden considerar como una resistencia $R_{Fe}$ en paralelo con la reactancia magnetizante $X_\mu$, pérdidas que son significativas para bajos valores de deslizamientos y normalmente se desprecian.

Finalmente, el circuito equivalente del motor asíncrono modelado con seis elementos se muestra en la figura 3.

Fig. 3 Circuito equivalente exacto de la máquina de inducción.

Los valores de corriente, par, potencia, factor de potencia, etc. se pueden obtener fácilmente del circuito equivalente exacto de la máquina asíncrona. Sin embargo, su cálculo es mucho más sencillo si, siguiendo una práctica bastante común, la rama magnetizante se sitúa delante de la impedancia estatórica tal y como se muestra en la figura 4, lo que da lugar al circuito equivalente aproximado de la máquina de inducción.