Puente de Viena

El puente de Viena permite determinar la capacidad, $C_x$, y la resistencia de pérdidas, $R_x$, conectada en paralelo a ella, de un condensador no ideal como puede ser un trozo de material aislante o de cable.

Las ecuaciones de equilibrio del puente de Viena son $$R_x=\dfrac{R_3\cdot (1+\omega^2\cdot R_1^2\cdot C_1^2)}{\omega^2\cdot R_1\cdot R_2\cdot C_1^2}\\ \; \\ C_x=\dfrac{R_2\cdot C_1}{R_3\cdot (1+\omega^2\cdot R_1^2\cdot C_1^2)}$$

Fig. 1 Puente de Viena

Un aplicación importante del puente de Viena es su uso para determinar la frecuencia a la que funcionan los osciladores RC serie.

La deducción de las ecuaciones de equilibrio del puente de Viena se fundamenta en los mismos conceptos ya desarrollados para el puente de impedancias, esto es $$\dfrac{Z_1}{Z_2}=\dfrac{Z_x}{Z_3}$$ donde $Z_1=R_1+\dfrac{1}{j\cdot\omega\cdot C_1}$, $Z_2=R_2$, $Z_3=R_3$ y $Z_x=\dfrac{R_x}{1+j\cdot\omega\cdot C_x\cdot R_x}$ (impedancia equivalente paralelo de las impedancias $R_x$ y $C_x$).

Sustituyendo $$\dfrac{R_1+\dfrac{1}{j\cdot\omega\cdot C_1}}{R2}=\dfrac{\dfrac{R_x}{1+j\cdot\omega\cdot C_x\cdot R_x}}{R_3}$$ Reordenando la ecuación $$\dfrac{R_1}{R_2}-\dfrac{j}{\omega\cdot R_2\cdot C_1}=\dfrac{R_x}{R_3+j\cdot\omega\cdot R_3\cdot R_x\cdot R_3}$$ Multiplicando la expresión por $R_3+j\cdot\omega\cdot R_3\cdot R_x\cdot R_3$, se tiene $$\dfrac{R_1\cdot R_3}{R_2}+\dfrac{R_3\cdot R_x\cdot C_x}{C_1\cdot R_2}+j\cdot\left(\dfrac{\omega\cdot R_1\cdot R_3\cdot R_x\cdot C_x}{R_2}-\dfrac{R_3}{\omega\cdot R_2\cdot C_1}\right)=R_x$$ Igualando partes reales y despejando $R_x$ se tiene $$\dfrac{R_1\cdot R_3}{R_2}+\dfrac{R_3\cdot R_x\cdot C_x}{C_1\cdot R_2}=R_x\rightarrow R_x\cdot\left( 1-\dfrac{R_3\cdot C_x}{R_2\cdot C_1}\right)=\dfrac{R_1\cdot R_3}{R_2}\rightarrow\\ \;\\ R_x=\dfrac{R_1\cdot R_3}{R_2}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{R_3\cdot C_x}{R_2\cdot C_1}}\rightarrow R_x=\dfrac{R_1\cdot R_3}{R_2}\cdot\dfrac{R_2\cdot C_1}{R_2\cdot C_1-R_3\cdot C_x}\rightarrow\\ R_x=\dfrac{R_1\cdot R_3\cdot C_1}{R_2\cdot C_1-R_3\cdot C_x}$$ Igualando ahora partes imaginarias y sustituyendo en la ecuación el valor conocido de $R_x$, en función de $C_x$, se tiene $$\dfrac{\omega\cdot R_1\cdot R_3\cdot C_x}{R_2}\cdot\dfrac{R_1\cdot R_3\cdot C_1}{R_2\cdot C_1-R_3\cdot C_x}=\dfrac{R_3}{\omega\cdot R_2\cdot C_1}\rightarrow\\ \;\\ \dfrac{\omega\cdot R_1^2\cdot R_3^2\cdot C_1\cdot C_x}{R_2\cdot C_1-R_3\cdot C_x}=\dfrac{R_3}{\omega\cdot C_1}\rightarrow\\ \; \\ \omega^2\cdot R_1^2\cdot R_3^2\cdot C_1^2\cdot C_x=R_3\cdot (R_2\cdot C_1-R_3\cdot C_x)\rightarrow\\ \; \\ C_x\cdot (\omega^2\cdot R_1^2\cdot R_3^2\cdot C_1^2+R_3^2)=R_2\cdot R_3\cdot C_1\rightarrow\\ \; \\ C_x=\dfrac{R_2\cdot R_3\cdot C_1}{R_3^2\cdot (1+\omega^2\cdot R_1^2\cdot C_1^2)}\rightarrow\\ \; \\ C_x=\dfrac{R_2\cdot C_1}{R_3\cdot (1+\omega^2\cdot R_1^2\cdot C_1^2)}$$ Volviendo de nuevo a la ecuación de $R_x$ y sustituyendo el valor de $C_x$, que depende únicamente de los parámetros conocidos del puente, se tiene $$R_x=\dfrac{R_1\cdot R_3\cdot C_1}{R_2\cdot C_1-R_3\cdot \dfrac{R_2\cdot C_1}{R_3\cdot (1+\omega^2\cdot R_1^2\cdot C_1^2)}}\rightarrow \\ \; \\ R_x=\dfrac{R_1\cdot R_3\cdot C_1\cdot (1+\omega^2\cdot R_1^2\cdot C_1^2)}{R_2\cdot C_1\cdot\left((1+\omega^2\cdot R_1^2\cdot C_1^2)-1\right)}\rightarrow\\ \; \\ R_x=\dfrac{R_1\cdot R_3\cdot (1+\omega^2\cdot R_1^2\cdot C_1^2)}{\omega^2\cdot R_1^2\cdot R_2\cdot C_1^2}\rightarrow\\ \; \\ R_x=\dfrac{R_3\cdot (1+\omega^2\cdot R_1^2\cdot C_1^2)}{\omega^2\cdot R_1\cdot R_2\cdot C_1^2}$$